이 책을 시작하며
현대 과학과 엔지니어링 분야에서 실제 현상을 이해하고 실험 결과를 예측하며 유용한 기술을 개발할 수 있는 고급 모델을 고안합니다. 이러한 학문 분야에서는 수학적 모델이 활용되므로 수학 학습이 필요합니다.
이 책에서 배울 수 있는 선형대수학 기법은 현존하는 수학적 모델링 도구 중 가장 강력합니다. 선형대수학의 핵심은 선형성(linearity)이라는 아주 간단한 개념입니다. 어떤 함수 f가 다음 방벚ㅇ식을 만족하면 선형입니다.
$f(ax_1 + bx_2) = af(x_1) + bf(x_2)$
각 변수 x에 상수 a, b를 곱하고 그 결과를 더함으로써 변수들의 집합을 구성하는데, 이 표현식을 선형결합(linear combination)이라는 용어로 설명합니다.
선형대수학의 모든 것을 살펴봤습니다. 이 책의 나머지 부분에서는 그저 더 자세하게 설명할 뿐입니다.
선형모델을 사용하는 몇 가지 특별한 이유가 있습니다.
선형모델이 실제 현상을 근사하는 데 매우 뛰어납니다.
비선형 현상이 나타내는 선형모델을 선형근사법(linear approximation)이라고 합니다.선형모델을 그 모델의 입력 또는 출력의 비선형 변환과 결합하여 비선형 현상을 설명할 수 있습니다.
머린러닝에서 종종 사용됩니다. 커널 기법은 선형모델의 입력에 대한 임의의 비선형 변환입니다. 시그모이드 활성화 곡선(sifmoid activation curve)은 부드럽게 변화하는 선형모델의 출력을 딱딱한 예/아니오 결정, on/off 명령, 혹은 0/1 값 등으로 변환하는 데 사용됩니다.
선형변환은 ‘벡터 함수’로 생각하고 익숙한 정규 함수의 성질과 유사하게 이해할 수 잇습니다.
방정식 풀이 (1.1)
- 등호(=)는 좌변과 우변의 값이 같다는 의미입니다. 이 등식이 계속 성립하기 위해서는 방정식의 좌변에 적용하는 모든 변경 사항을 방정식의 우변에도 동일하게 적용해야 합니다.
수 (1.2)
수는 물건을 세고, 측정하고, 정량화하고, 계산하는 데 사용하는 기본적인 수단입니다. 수의 범주는 다음과 같습니다.
자연수: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
정수: Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
유리수: $\mathbb{Q} = {5/3, 22/7, 1.5, 0.125, -7, …}$
실수: $\mathbb{R} = {-1, 0, \sqrt{2}, \pi, 4.94, …}$
복소수: $\mathbb{C} = {-1, 0, 1, i, 1+i, 2+3i, …}$
이차 방정식 풀이 (1.6)
근의 공식
방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 해는 다음과 같습니다.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, $x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
근의 공식에 대한 증명
이차 방정식 $ax^2 + bx + c - 0$에서 시작합니다. 양변을 a로 나눕니다.
$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$완전제곱 꼴로 만들어서 방정식을 만족하는 h와 k를 찾습니다.
$(x - h)^2 + k = x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}$h와 k를 찾기 위해 좌변의 괄호를 전개해서 다음을 얻습니다.
$x^2 - 2hx + h^2 + k = x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}$방정식의 양변에 있는 x의 계수를 보면 h를 구할 수 있습니다. $-2h = \frac{b}{a}$이므로 $h = -\frac{b}{2a}$입니다. 위 방정식에 대입합니다.
$x^2 - \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} + k = x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}$k값을 구하기 위해, 방정식 양변의 같은 항을 소거하고 k를 분리합니다.
$\frac{b^2}{4a^2} + k = \frac{c}{a}$
$k = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2}$h와 k를 찾은 후, 방정식 $ax^2 + bx + c - 0$을 다음과 같이 $(x - h)^2 + k = 0$ 형태의 방정식으로 쓸 수 있습니다.
$(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2} = 0$모든 상수를 우변으로 이동시킵니다.
$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2}$양변에 제곱근을 취합니다. 제곱 함수는 양수와 음수가 같은 결과값이 되기 때문에 두 가지 해를 생성합니다.
$x + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{-\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}}$제곱근 안을 정리한 뒤 해를 구합니다.
$x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x = \frac{-b}{2a} \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ = $\frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
함수 (1.8)
함수(function)는 변수들 사이의 관계를 규정하는 규칙으로 이해할 수 있습니다. 특히, 함수는 한 변수에 따라 다른 변수가 어떻게 변화하는지 설명합니다.
$f : A \to B$
정의역(domain): 허용된 입력값들의 집합입니다.
치역(range), 상(image): 가능한 모든 출력값들의 집합입니다.
공역(codomain): 함수의 치역을 포함하는 집합으로 출력값의 형태를 나타내는 집합입니다.
함수는 수에서 수로의 사상(mapping)입니다. 임의의 입력값 x에 대해, 그 입력에 대한 f의 출력값은 f(x)로 표시됩니다.
역함수는 함수 f의 연산을 실행 취소하는 함수입니다. 전단사함수 $f : A \to B$가 주어지면, f의 역사상을 수행하는 역함수 $f^{-1} : B \to A$가 존재합니다. 어떤 x에서 시작하여 f를 적용한 다음 $f^{-1}$를 적용하면 원래 입력 x가 됩니다.
$f^{-1}(f(x)) \equiv f^{-1} \circ f(x) = x$
벡터 (1.14)
벡터는 다차원 대상을 다루는 방법으로 공간에서의 방향을 나타내는 정확한 방법입니다. 실수의 순서쌍으로 표시하고 각각의 실수를 성분(component)이라고 합니다. 물리량, 컴퓨터 그래픽, 확률론, 머시러닝, 기타 과학과 수학 분야의 연구에서 광범위하게 사용됩니다.
- 벡터 표기법
- 성분 표기법: x축, t축에 대한 순서쌍으로 나타냅니다.
$\vec{v} = (v_{x}, v_{y})$ - 단위벡터 표기법: 단위벡터 $\hat{i} = (1,0)$, $\hat{j} = (0,1)$를 사용하여 표현합니다.
$\vec{v} = v_{x}\hat{i}, v_{y}\hat{j}$ - 길이-방향 표기법: 벡터의 길이 $\vert\vert\vec{v}\vert\vert$와 벡터가 x축과 이루는 각 $\theta$로 표현합니다.
$\vec{v} = \vert\vert\vec{v}\vert\vert \angle\theta$
- 성분 표기법: x축, t축에 대한 순서쌍으로 나타냅니다.
기저(basis)
기저(basis)는 벡터를 학습할 때 가장 중요한 개념 중 하나입니다. 3차원 벡터공간 $\mathbb{R}^3$의 기저가 $\hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3$이고 기저에 대한 계수가 $(v_1, v_2, v_3)$라면 벡터를 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
$\vec{v} = v_1\hat{e}_1 + v_2\hat{e}_2 + v_3\hat{e}_3$기저에 대한 실사용 예로 RGB code가 있습니다. RGB code는 색상을 만들기 위해 필요한 Red, Green, Blue 색의 양을 나타내는 세 가지 값으로 표현합니다. 예를 들어 노랑색은 (255,255,0)의 RGB code로 표현합니다.