이 책을 시작하며
현대 과학과 엔지니어링 분야에서 실제 현상을 이해하고 실험 결과를 예측하며 유용한 기술을 개발할 수 있는 고급 모델을 고안합니다. 이러한 학문 분야에서는 수학적 모델이 활용되므로 수학 학습이 필요합니다.
이 책에서 배울 수 있는 선형대수학 기법은 현존하는 수학적 모델링 도구 중 가장 강력합니다. 선형대수학의 핵심은 선형성(linearity)이라는 아주 간단한 개념입니다. 어떤 함수 f가 다음 방벚ㅇ식을 만족하면 선형입니다.
각 변수 x에 상수 a, b를 곱하고 그 결과를 더함으로써 변수들의 집합을 구성하는데, 이 표현식을 선형결합(linear combination)이라는 용어로 설명합니다.
선형대수학의 모든 것을 살펴봤습니다. 이 책의 나머지 부분에서는 그저 더 자세하게 설명할 뿐입니다.
선형모델을 사용하는 몇 가지 특별한 이유가 있습니다.
선형모델이 실제 현상을 근사하는 데 매우 뛰어납니다.
비선형 현상이 나타내는 선형모델을 선형근사법(linear approximation)이라고 합니다.선형모델을 그 모델의 입력 또는 출력의 비선형 변환과 결합하여 비선형 현상을 설명할 수 있습니다.
머린러닝에서 종종 사용됩니다. 커널 기법은 선형모델의 입력에 대한 임의의 비선형 변환입니다. 시그모이드 활성화 곡선(sifmoid activation curve)은 부드럽게 변화하는 선형모델의 출력을 딱딱한 예/아니오 결정, on/off 명령, 혹은 0/1 값 등으로 변환하는 데 사용됩니다.
선형변환은 ‘벡터 함수’로 생각하고 익숙한 정규 함수의 성질과 유사하게 이해할 수 잇습니다.
방정식 풀이 (1.1)
- 등호(=)는 좌변과 우변의 값이 같다는 의미입니다. 이 등식이 계속 성립하기 위해서는 방정식의 좌변에 적용하는 모든 변경 사항을 방정식의 우변에도 동일하게 적용해야 합니다.
수 (1.2)
수는 물건을 세고, 측정하고, 정량화하고, 계산하는 데 사용하는 기본적인 수단입니다. 수의 범주는 다음과 같습니다.
자연수: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
정수: Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
유리수:
실수:
복소수:
이차 방정식 풀이 (1.6)
근의 공식
방정식의 해는 다음과 같습니다.
,
근의 공식에 대한 증명
이차 방정식
에서 시작합니다. 양변을 a로 나눕니다.
완전제곱 꼴로 만들어서 방정식을 만족하는 h와 k를 찾습니다.
h와 k를 찾기 위해 좌변의 괄호를 전개해서 다음을 얻습니다.
방정식의 양변에 있는 x의 계수를 보면 h를 구할 수 있습니다.
이므로 입니다. 위 방정식에 대입합니다.
k값을 구하기 위해, 방정식 양변의 같은 항을 소거하고 k를 분리합니다.
h와 k를 찾은 후, 방정식
을 다음과 같이 형태의 방정식으로 쓸 수 있습니다.
모든 상수를 우변으로 이동시킵니다.
양변에 제곱근을 취합니다. 제곱 함수는 양수와 음수가 같은 결과값이 되기 때문에 두 가지 해를 생성합니다.
제곱근 안을 정리한 뒤 해를 구합니다.
=
함수 (1.8)
함수(function)는 변수들 사이의 관계를 규정하는 규칙으로 이해할 수 있습니다. 특히, 함수는 한 변수에 따라 다른 변수가 어떻게 변화하는지 설명합니다.
정의역(domain): 허용된 입력값들의 집합입니다.
치역(range), 상(image): 가능한 모든 출력값들의 집합입니다.
공역(codomain): 함수의 치역을 포함하는 집합으로 출력값의 형태를 나타내는 집합입니다.
함수는 수에서 수로의 사상(mapping)입니다. 임의의 입력값 x에 대해, 그 입력에 대한 f의 출력값은 f(x)로 표시됩니다.
역함수는 함수 f의 연산을 실행 취소하는 함수입니다. 전단사함수
벡터 (1.14)
벡터는 다차원 대상을 다루는 방법으로 공간에서의 방향을 나타내는 정확한 방법입니다. 실수의 순서쌍으로 표시하고 각각의 실수를 성분(component)이라고 합니다. 물리량, 컴퓨터 그래픽, 확률론, 머시러닝, 기타 과학과 수학 분야의 연구에서 광범위하게 사용됩니다.
- 벡터 표기법
- 성분 표기법: x축, t축에 대한 순서쌍으로 나타냅니다.
- 단위벡터 표기법: 단위벡터
, 를 사용하여 표현합니다. - 길이-방향 표기법: 벡터의 길이
와 벡터가 x축과 이루는 각 로 표현합니다.
- 성분 표기법: x축, t축에 대한 순서쌍으로 나타냅니다.
기저(basis)
기저(basis)는 벡터를 학습할 때 가장 중요한 개념 중 하나입니다. 3차원 벡터공간
의 기저가 이고 기저에 대한 계수가 라면 벡터를 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
기저에 대한 실사용 예로 RGB code가 있습니다. RGB code는 색상을 만들기 위해 필요한 Red, Green, Blue 색의 양을 나타내는 세 가지 값으로 표현합니다. 예를 들어 노랑색은 (255,255,0)의 RGB code로 표현합니다.