Intro
확률의 기초 용어(표본공간과 사건, 셈 원리)를 이해하고 적용할 수 있습니다.
Statistics (통계학)
Statistics is the logic of uncertainty.
확률은 불확실성을 계량화하는 것을 가능하게 해줍니다.
Sample Space (S, 표본공간)
A sample space is the set of all possible outcomes of an experiment.
표본공간은 어떤 실험에서 가능한 모든 경우의 집합을 의미합니다.
Event (A, 사건)
An event is a subset of the sample space.
Probability (P, 확률)
확률의 간단한 정의는 아래와 같습니다.
$P(A) = \frac{count of favorable outcomes}{count of possible outcomes}$
여기서 내포하고 있는 두 가지 가정이 있습니다. 항상 이 가정이 만족되는 것은 아니므로 적용 불가한 경우가 있습니다.
- 모든 evenet가 발생할 probability는 같습니다.
- Sample space는 유한합니다.
여기서 possible outcomes를 매번 일일히 counting 하는 것은 불가능합니다. 어떻게 counting 해야할까요?
Counting
Multiplication Rule
만약 첫 번째 experiment가 $n_{1}$개의 possible outcomes를 가지고 두 번째 experiment가 $n_{2}$개를 가지고, …, r 번째 experiment가 $n_{r}$개를 가진다면,
overall possible outcomes = $n_{1} * n_{2} *, … *, n_{r}$Binomial coefficient(이항계수)
$\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}$ (if k>n)
multiplication rule을 적용할 수 있습니다. n명 중 한 명을 뽑는 경우의 수는 n, 다음 한 명을 뽑는 경우의 수는 (n-1), …, k번째 한 명을 뽑는 경우의 수는 (n-k+1)입니다. 뽑는 순서는 상관 없으므로 k!로 나눠줍니다. 좌변의 분모와 분자를 소거하면 우변과 같습니다.
$\frac{n(n-1)(n-2)…(n-k+1)}{k!} = \frac{n!}{(n-k)!k!}$
Sampling Table
전체 n개의 sample 중 k개의 sample을 선택할 때 고려해야 할 사항과 그 결과값에 관한 table 입니다.
| (header) | order matter | order doesn’t matter |
| replace | $n^{k}$ | $\binom{n+k-1}{k}$ |
| doesn’t replace | n(n-1)(n-2)…(n-k+1) | $\binom{n}{k}$ |