ch8. Random Variables and Their Distributions

Intro

확률분포를 해석하는 세 가지 접근방식을 이해하고 적용할 수 있습니다. 이항분포, 초기하분포를 이해합니다.

Bin(n, p)

모두 n(양의 정수), p([0, 1] 사이의 값, 확률)에 의해서 분포가 결정됩니다.

이항분포를 해석하는 세 가지 방법이 있습니다. 이 중 첫 번째 방법은 가장 중요합니다.

Story
X is #successes in n independent Bern(p)
지시확률변수(indicator random variables)
$X = X_{1} + X_{2} + … + X_{n}$
$X_{1}, X_{2}, …, X_{n} ~iid Bern(p)$
$X_{j}$ = 성공인 경우 1, 실패인 경우 0
확률질량함수(PMF)
$P(X=k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}$

조약돌 세계관에서 7번 조약돌은 하나의 사건이자 그 사건을 지칭하는 번호입니다.

X=7, is an event.

CDF(Cummulative distribution function)

$X \leqq x$ is an event.

$F(x) = P(X \leqq x)$

일 때 F를 CDF of X라고 정의합니다.

지난 시간 마지막 부분에서 다뤘던 두 이항분포의 합에 대한 분포를 위에서 정의한 세 가지 접근방식에 따라 알아봅니다.

X~Bin(n,p), Y~Bin(m,p), X와 Y가 independent일 때 X+Y~Bin(n+m, p)를 따릅니다.

Story
Binomial 분포를 따르는 두 개의 확률변수 X, Y의 성공하는 횟수는 각 확률변수 X, Y에서 성공하는 횟수를 더한 것과 같습니다.
지시확률변수(indicator random variables)
$X = X_{1} + X_{2} + … + X_{n}$
$Y = Y_{1} + Y_{2} + … + Y_{n}$
→ $X + Y = \sum_{j=1}^{n}X_{j} + \sum_{j=1}^{m}Y_{j}$
n+m의 분포는 Bin(n+m, p)를 따릅니다.
PMF
$P(X+Y=k) = \sum_{j=0}^{k}P(X+Y=k X=j)P(X=j)$
= $\sum_{j=0}^{k}P(Y=k-j X=j) \binom{n}{j}p^{j}q^{n-j}$
= $\sum_{j=0}^{k} \binom{m}{k-j}p^{k-j}q^{m-k+j} \binom{n}{j}p^{j}q^{n-j}$
= $p^{k}q^{m+n-k} \sum^{k}_{j=0} \binom{n}{j}$
= $p^{k}q^{m+n-k} \binom{m+n}{k}$

이항분포으로 착각하기 쉬운 초기하분포를 예제 문제를 통해 살펴보겠습니다.

카드 문제
5장의 카드를 뽑았을 때 ACE 카드가 나올 확률
$P(X=k) k \in {0, 1, 2, 3, 4}$
= $\frac{\binom{4}{k} \binom{48}{5-k}}{\binom{52}{5}}$
카드 첫 장을 뽑았을 때 ACE라면 비복원추출이므로 다음 카드를 뽑았을 때 ACE가 나올 확률은 감소합니다. 따라서 각 시행이 독립인 이항분포와 다른 분포입니다.
Elk 문제
산 속에 20마리의 elk가 있습니다. 5마리는 tag, 15마리는 untag 되어있습니다. 4마리를 잡았을 때 2마리가 tag되어 있을 확률은?
역시 카드 문제와 마찬가지로 초기하분포를 따릅니다.
구슬 문제
b개의 검정색 구슬과 w개의 흰색 구슬 중에서, n개의 표본을 무작위로 추출할 때 표본에 있는 흰색 구슬의 수는? 마찬가지로 초기하분포를 따릅니다.
초기하분포라도 표본공간이 충분히 커서(예를 들어 구슬 10억개 중 10개를 뽑는 시행) 복원/비복원 여부가 큰 차이가 나지 않을 때, 초기하분포는 이항분포에 근사합니다.

이항분포와 초기하분포를 살펴보고 그 차이점을 확인 했습니다.